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Álgebra A 62
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ESCAYOLA
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
8.
Hallar la preimagen $T^{-1}(M)$ del conjunto $M$ por la transformación lineal $T$. Interpretar geométricamente.
c) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{3}, x_{2}, x_{2}\right)$, para: (i) $M=\{(-2,1,2)\}$ (ii) $M=\langle(2,1,1)\rangle$.
c) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{3}, x_{2}, x_{2}\right)$, para: (i) $M=\{(-2,1,2)\}$ (ii) $M=\langle(2,1,1)\rangle$.
Respuesta
(i) $M=\{(-2,1,2)\}$
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En este caso, tenemos que hallar todos los vectores de $\mathbb{R}^{3}$ de la forma $(x_1,x_2,x_3)$ que verifican que:
$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
Y para esta ecuación matricial con tres incógnitas, $x_1$, $x_2$ y $x_3$, el sistema a resolver es este:
$\begin{cases} x_1 - x_3 = -2 \\ x_2 = 1 \\ x_2 = 2 \end{cases}$
De la segunda ecuación obtenemos que $x_2 = 1$... pero de la tercera ecuación obtenemos que $x_2 = 2$ ❌☠️
Esto implica que no existe ningún vector $(x_1,x_2,x_3)$ en $\mathbb{R}^3$ al que, si le aplicamos $T$, obtengamos el vector $(-2,1,2)$.
Con lo cual, $T^{-1}(M) = \emptyset$
(ii) $M=\langle(2,1,1)\rangle$
De nuevo, como nos viene pasando en los ítems anteriores, fijate que los vectores que pertenecen a $M$ (si lo pasas a generadores) son todos los múltiplos del $(2,1,1)$, es decir, son de la forma -> $k \cdot (2,1,1) = (2k,k,k)$, con $k \in \mathbb{R}$.
Así que los vectores que estamos buscando en este caso son los que cumplen que...
$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2k \\ k \\ k \end{pmatrix}$
El sistema de ecuaciones es:
$\begin{cases} x_1 - x_3 = 2k \\ x_2 = k \\ x_2 = k \end{cases}$
De la segunda y tercera ecuación obtenemos que $x_2 = k$
Y de la primera podemos despejar $x_1$ y nos queda que $x_1 = 2k + x_3$
Es decir, los vectores $(x_1,x_2,x_3)$ que estamos buscando son tooodos estos...
$(x_1,x_2,x_3) = (2k+x_3, k, x_3) = k \cdot (2,1,0) + x_3 \cdot (1,0,1)$, con $k, x_3 \in \mathbb{R}$
...esto es un subespacio de dimensión $2$, no? Por lo tanto, la preimagen de $M$ son todos los vectores que pertenecen a este subespacio -> $\langle (2,1,0), (1,0,1) \rangle$
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